Question

在m（m≥2，m∈N⁺）個(gè)不同數(shù)的排列（P₁，P₂，…，P_m）中，若1≤i＜j≤m時(shí)，P_i＞P_j（即前面某數(shù)大于
后面某數(shù)）則稱P_i與P_j構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2與1”，“40與3”，“40與1”，“3與1”其逆序數(shù)等于4．
（1）求（1，3，40，2）的逆序數(shù)；
（2）已知n+2（n∈N⁺）個(gè)不同數(shù)的排列（P₁，P₂，…，P_n+1，P_n+2）的逆序數(shù)是2．
（�。┣螅≒_n+2，P_n+1，…，P₂，P₁）的逆序數(shù)a_n
（ⅱ）令b_n=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

，證明2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）（1，3，40，2）中逆序數(shù)有2個(gè)．
（2）（�。﹏+1數(shù)中任取兩個(gè)比較大小，共有

C

2 n+2

個(gè)大小關(guān)系，由此能求出結(jié)果．
（ⅱ）bn=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

=2+

2

n+1

-

2

n-3

，從而得到b₁+b₂+…+b_n=2n+1+

2

3

-

2

n+2

-

2

n+3

．由此能證明2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

解答： 解：（1）（1，3，40，2）有逆序“3，2”，“40，2”，其逆序數(shù)有2個(gè)．
（2）（ⅰ）n+1數(shù)中任取兩個(gè)比較大小，
共有

C

2 n+2

個(gè)大小關(guān)系，
∴an

=C

2 n+2

-2，n∈N^*．
（ii）bn=

an+2

an+1+2

+

an+1+2

an+2

=

C 2 n+2

C 2 n+3

+

C 2 n+3

C 2 n+2

=

n+1

n+3

+

n+3

n+1

=2+

2

n+1

-

2

n-3

，
∴b₁+b₂+…+b_n=2n+

n

i=1

2

i+1

-

n

i=1

2

i+3

=2n+1+

2

3

-

2

n+2

-

2

n+3

．
∵y=-

2

n+2

-

2

n+3

單調(diào)遞增，
∴-

2

3

-

1

2

≤-

2

n+2

-

2

n+3

＜0，
∴2n+

1

2

≤b₁+b₂+…+b_n＜2n+

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查逆序數(shù)的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用，注意函數(shù)單調(diào)性的靈活運(yùn)用．