Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc
（1）求∠A的大��；
（2）設f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)(ω＞0)且f（x）的最小正周期為π，求f(x)在[0，

π

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知兩個等式以及余弦定理直接推出cosA的值，可求出A的大小；
（2）利用兩角和與差的余弦函數(shù)以及兩角和與差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過x的范圍求出相位的范圍，然后求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵b²=ac，且a²-c²=ac-bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
又A是三角形的內角，故A=

π

3

．
（2）因為f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)
=cos(ωx-

π

6

)+sin(ωx)
=

3

2

cosωx+

1

2

sinωx+sinωx
=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

sin（ωx+

π

6

），因為f（x）的最小正周期為π，所以ω=2，
函數(shù)解析式為：f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，當x=

π

6

時，函數(shù)的最大值為

3

．

點評：本題考查三角形中的余弦定理，考查余弦定理與三角恒等變換公式，兩角和與差的三角函數(shù)，本題是解三角形中綜合性較強的一道題．