Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），若y=在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x） 為“一階比增函數”．
（Ⅰ） 若f（x）=ax²+ax是“一階比增函數”，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 若f（x）是“一階比增函數”，求證：?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）若f（x）是“一階比增函數”，且f（x）有零點，求證：f（x）＞2013有解．

Answer 1

解：（I）由題意得y==ax+a在（0，+∞）是增函數，
由一次函數性質知：當a＞0時，y=ax+a在（0，∞）上是增函數，
∴a＞0．
（Ⅱ）∵f（x）是“一階比增函數”，即在（0，+∞）上是增函數，
又?x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∴，，
∴，，
∴+=f（x₁+x₂）．
（Ⅲ）設f（x₀）=0，其中x₀＞0．
因為f（x）是“一階比增函數”，所以當x＞x₀時，．
法一：取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記f（t）=m．
由（Ⅱ）知f（2t）＞2m，同理f（4t）＞2f（2t）＞4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m．
所以一定存在n∈N*，使得f（2ⁿt）＞2ⁿm＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．
法二：取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記．
因為當x＞t時，，所以f（x）＞kx對x＞t成立．
只要 ，則有f（x）＞kx＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．
分析：（Ⅰ）利用“一階比增函數”的意義及一次函數的單調性即可得出；
（Ⅱ）利用“一階比增函數”的意義及增函數的定義即可證明；
（Ⅲ）利用“一階比增函數”的意義和（Ⅱ）的結論即可證明．
點評：正確“一階比增函數”的意義及增函數的定義及利用已經證明過的結論是解題的關鍵．