Question

如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點
（ I）求證：BD⊥平面EFC；
（Ⅱ）當(dāng)AD=CD=BD=1，且EF⊥CF時，求三棱錐C-ABD的體積V_C-ABD．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）△ABD中，根據(jù)中位線定理，得EF∥AD，結(jié)合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC；
（Ⅱ）確定CF⊥平面ABD，S_△ABD=

1

2

，利用體積公式，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵△ABD中，E、F分別是AB，BD的中點，
∴EF∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．
∵△BCD中，CB=CD，F(xiàn)是BD的中點，∴CF⊥BD．
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC；
（Ⅱ）解：∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點，
∴CF⊥BD，
∵EF⊥CF，EF∩BD=F，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，
∴CF=

3

2

，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

，
∴V_C-ABD=

1

3

×

1

2

×

3

2

=

3

12

．

點評：本題考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐C-ABD的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．