Question

（2012•惠州模擬）（注：本題第（2）（3）兩問只需要解答一問，兩問都答只計第（2）問得分）
已知函數f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數，且圖象在點（e，f（e））處的切線斜率為3（e為自然對數的底數）．
（1）求實數a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當m＞n＞1（m，n∈Z）時，證明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數，可得f（-x）=-f（x），從而b=0，求導函數，利用圖象在點（e，f（e））處的切線斜率為3，可求a=1；
（2）當x＞1時，設g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，設h（x）=x-2-lnx，則可得h（x）在（1，+∞）上是增函數，可得?x₀∈（3，4），從而x∈（1，x₀）時，g（x）在（1，x₀）上為減函數；g（x）在（x₀，+∞₀）上為增函數，由此可得結論；
（3）要證（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要證nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，即證n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，構建函數，利用導數即可證得結論．

解答：（1）解：∵函數f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
∴l(xiāng)n|-x+b|=ln|x+b|，從而b=0…（3分），
此時f（x）=ax+xln|x|，f′（x）=a+1+ln|x|…（4分），
依題意f′（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）解：當x＞1時，設g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

…（6分）
設h（x）=x-2-lnx，則h′(x)=1-

1

x

＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數…（8分）
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以?x₀∈（3，4），使h（x₀）=0…（10分），
x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上為減函數；同
理g（x）在（x₀，+∞₀）上為增函數…（12分），
從而g（x）的最小值為g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0…（13分）
所以k＜x₀∈（3，4），k的最大值為3…（14分）．
（3）證明：要證（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要證nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即證n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

…（8分），
設?(x)=

xlnx

x-1

，x＞1…（9分），則?/(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

…（10分）
設g（x）=x-1-lnx，則? ′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

…（11分），g（x）在（1，+∞₀）上為增函數…（12分），
?x＞1，g（x）＞g（1）=1-1-ln1=0，從而?′（x）＞0，?（x）在（1，+∞₀）上為增函數…（13分），
因為m＞n＞1，所以?（n）＜?（m），

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，
所以（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，屬于難題．