(2012•惠州模擬)(注:本題第(2)(3)兩問只需要解答一問,兩問都答只計(jì)第(2)問得分)
已知函數(shù)f(x)=ax+xln|x+b|是奇函數(shù),且圖象在點(diǎn)(e,f(e))處的切線斜率為3(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)若k∈Z,且k<
f(x)x-1
對(duì)任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)當(dāng)m>n>1(m,n∈Z)時(shí),證明:(nmmn>(mnnm
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=ax+xln|x+b|是奇函數(shù),可得f(-x)=-f(x),從而b=0,求導(dǎo)函數(shù),利用圖象在點(diǎn)(e,f(e))處的切線斜率為3,可求a=1;
(2)當(dāng)x>1時(shí),設(shè)g(x)=
f(x)
x-1
=
x+xlnx
x-1
,則g′(x)=
x-2-lnx
(x-1)2
,設(shè)h(x)=x-2-lnx,則可得h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),可得?x0∈(3,4),從而x∈(1,x0)時(shí),g(x)在(1,x0)上為減函數(shù);g(x)在(x0,+∞0)上為增函數(shù),由此可得結(jié)論;
(3)要證(nmmn>(mnnm,即要證nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn,即證n(1-m)lnn>m(1-n)lnm,構(gòu)建函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:∵函數(shù)f(x)=ax+xln|x+b|是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),即a(-x)+(-x)ln|-x+b|=-(ax+xln|x+b|)…(2分),
∴l(xiāng)n|-x+b|=ln|x+b|,從而b=0…(3分),
此時(shí)f(x)=ax+xln|x|,f′(x)=a+1+ln|x|…(4分),
依題意f′(e)=a+2=3,所以a=1…(5分)
(2)解:當(dāng)x>1時(shí),設(shè)g(x)=
f(x)
x-1
=
x+xlnx
x-1
,則g′(x)=
x-2-lnx
(x-1)2
…(6分)
設(shè)h(x)=x-2-lnx,則h′(x)=1-
1
x
>0
,h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)…(8分)
因?yàn)閔(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,所以?x0∈(3,4),使h(x0)=0…(10分),
x∈(1,x0)時(shí),h(x)<0,g′(x)<0,即g(x)在(1,x0)上為減函數(shù);同
理g(x)在(x0,+∞0)上為增函數(shù)…(12分),
從而g(x)的最小值為g(x0)=
x0+x0lnx0
x0-1
=x0
…(13分)
所以k<x0∈(3,4),k的最大值為3…(14分).
(3)證明:要證(nmmn>(mnnm,即要證nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn…(6分),
即證n(1-m)lnn>m(1-n)lnm,
nlnn
n-1
mlnm
m-1
…(8分),
設(shè)?(x)=
xlnx
x-1
,x>1…(9分),則?/(x)=
x-1-lnx
(x-1)2
…(10分)
設(shè)g(x)=x-1-lnx,則? ′(x)=
x-1-lnx
(x-1)2
…(11分),g(x)在(1,+∞0)上為增函數(shù)…(12分),
?x>1,g(x)>g(1)=1-1-ln1=0,從而?′(x)>0,?(x)在(1,+∞0)上為增函數(shù)…(13分),
因?yàn)閙>n>1,所以?(n)<?(m),
nlnn
n-1
mlnm
m-1
,
所以(nmmn>(mnnm…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的解析式,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查不等式的證明,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•惠州模擬)已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線
x2
m
+y2=1
的離心率為( 。

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(2012•惠州模擬)已知橢圓C:  
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的離心率為
6
3
,且經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
,
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△AOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.

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(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大。

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(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值.

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(2012•惠州模擬)計(jì)算:
1
-1
1-x2
dx
=
π
2
π
2

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