Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過F傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，AM⊥了，BN⊥l，M，N為垂足，點Q是MN的中點，|QF|=2，則p=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由|QF|=2求出|AB|的長度，聯(lián)立過焦點的直線方程與拋物線方程，由弦長公式求出弦長，則p的值可求．

解答 解：如圖，

由拋物線的幾何性質(zhì)可得，以AB為直徑的圓與準線l相切，且切點為Q，
△MFN是以∠MFN為直角的直角三角形，
則|MN|=2|QF|=4，即|BD|=4，∴|AB|=$\frac{|BD|}{sin60°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y-0=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，得12x²-20px+3p=0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{20}{12}p=\frac{5}{3}p$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{5}{3}p+p=\frac{8}{3}p$，
∴$\frac{8}{3}p=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，則p=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．