Question

設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

2y²－x²＝1(x²<3)．

試題分析：將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關(guān)于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積（整體計(jì)算比計(jì)算出兩個(gè)根要簡(jiǎn)單）。根據(jù)且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計(jì)算，但這種情況需對(duì)斜率存在與否進(jìn)行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問(wèn)題來(lái)解決。詳見(jiàn)解析。
試題解析： 解：聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a²－3)x²＋2abx＋b²＋1＝0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，∴⇒a²<3.
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)則x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
由⊥得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁·y₂＝(ax₁＋b)(ax₂＋b)＝a²x₁x₂＋ab(x₁＋x₂)＋b²，
∴有＋a²·－＋b²＝0.
化簡(jiǎn)得：a²－2b²＝－1.故P點(diǎn)(a，b)的軌跡方程為2y²－x²＝1(x²<3)．