Question

已知函數(shù)在處取得極值.

（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）ƒ（-1）=2是極大值，ƒ（1）=-2是極小值

（2）切點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，-2）,切線方程為9x-y+16=0

【解析】第一問(wèn)由函數(shù)在處取得極值.

說(shuō)明了ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值問(wèn)題。

第二問(wèn)中，要求過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，表示切線方程，再將A點(diǎn)代入方程中得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求解得到。

解:（1）ƒ′(x)=3ax²+2bx-3，依題意，ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，即

3a+2b-3=0，

3a-2b-3=0.解得a=1，  b=0.

∴ƒ（x）=x³-3x，ƒ′(x)=3x²-3=3（x+1）（x-1）.

令ƒ′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1.

若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則ƒ′(x)>0,故ƒ（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數(shù).

若x∈（-1,1），則ƒ′(x)<0,故ƒ（x）在（-1,1）上是減函數(shù).

所以ƒ（-1）=2是極大值，ƒ（1）=-2是極小值.

（1）曲線方程為y=x³-3x,點(diǎn)A（0,16）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為M（x₀,y₀）

則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y₀= x₀³-3x₀，

因?yàn)閒’(x₀)=3(x₀²-1),故切線方程為

y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₉)

因?yàn)辄c(diǎn)A在曲線上，則可知16-（x₀³-3x₀）=3(x₀²-1)(x-x₉)

化簡(jiǎn)得到x₀=-2，

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，-2）,切線方程為9x-y+16=0