Question

9．設函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx，a∈R，且a≠1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為0
（1）求b的值；
（2）若x∈[1，+∞），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合已知切線方程，解方程可得b=1；
（2）求出f（x）的導數(shù)，并分解因式，對a討論，當a$≤\frac{1}{2}$時，當a＞1時，當$\frac{1}{2}＜$a＜1時，判斷導數(shù)的符號和單調(diào)性，得到極值和最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx，a∈R，且a≠1，
導數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-b，
由在點（1，f（1））處的切線的斜率為0，
則a+1-a-b=0，解得b=1；
（2）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，a∈R，且a≠1，
導數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$），
當a$≤\frac{1}{2}$時，$\frac{a}{1-a}$≤1，1-a＞0，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上遞增，
即有f（x）的最小值為f（1）=$\frac{-1-a}{2}$；
當a＞1時，$\frac{a}{1-a}$＜1，1-a＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上遞減，
f（1）取得最大值f（1），沒有最小值；
當$\frac{1}{2}＜$a＜1時，$\frac{a}{1-a}$＞1，1-a＞0，當x＞$\frac{a}{1-a}$時，f′（x）≥0，f（x）遞增，
當1＜x＜$\frac{a}{1-a}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=$\frac{a}{1-a}$處f（x）取得最小值，且為aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}-2a}{1-a}$．
綜上可得，當a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）的最小值為$\frac{-1-a}{2}$；
當a＞1時，f（x）沒有最小值；
當$\frac{1}{2}＜$a＜1時，f（x）的最小值為aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}-2a}{1-a}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和最值求法，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．