8.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$
(1)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+$\frac{1}{2}$)(其中a>0)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,求證:不等式f(x)>$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立.

分析 (1)f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$,則f′(x)=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,進而的a的取值范圍.
(2)當x≥1時,不等式f(x)>$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立.等價于:2cos2x<$\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得其最小值,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出.

解答 (1)解:f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$,則f′(x)=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$(x>0),
當0<x<1時,f'(x)>0;當x>1時,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴f(x)在x=1處取得極大值.
∵函數(shù)在區(qū)間(a,a+$\frac{1}{2}$)(其中a>0)上存在極值,
∴$0<a<1<a+\frac{1}{2}$,
解得$\frac{1}{2}<a<1$.
(2)證明:當x≥1時,不等式f(x)>$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立.
等價于:2cos2x<$\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g(x),
x≥1時,x>lnx.
g′(x)=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$>0,
因此函數(shù)g(x)在x≥1時單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(1)=2.當且僅當x=1時取等號.
而x=1時,2cos2x<2.x>1時,2cos2x≤2.
∴2cos2x<$\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$恒成立.
則原不等式成立.

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域,考查了等價轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)P為橢圓C上不在x軸上的一個動點,過點F2作OP的平行線交橢圓與M、N兩個不同的點,記S1=S${\;}_{△P{F}_{2}M}$,S2=S${\;}_{△O{F}_{2}N}$,令S=S1+S2,求S的最大值.

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16.某校舉辦“校園文化藝術(shù)節(jié)”,其中一項猜獎活動,參與者需先后回答兩道選擇題,問題A有三個選項,問題B有四個選項,但都只有一個選項是正確的,正確回答問題A可獲獎金a元,正確回答問題B可獲獎金b元,活動規(guī)定:
①參與者可任意選擇回答問題的順序;
②如果第一個問題回答錯誤,該參與者猜獎活動終止,不獲得任何獎金;
③如果第一個問題回答正確,可以選擇繼續(xù)答題,若第二題也答對,則該參與者獲得兩道題的獎金,若第二題答錯,則該參與者只能得到第一個問題獎金的一半;也可以選擇放棄答題,獲得第一題的獎金,猜獎活動終止.假設(shè)一個參與者在回答問題前,對這兩個問題都很陌生,且在第一個問題回答正確后,選擇繼續(xù)答題和放棄答題的可能性相等.
(Ⅰ)如果該參與者先回答問題A,求其恰好獲得獎金a+b元的概率;
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3.如圖,矩形CDEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直,AD=$\sqrt{2}$,DE=$\sqrt{3}$,AB=4,EG=$\frac{1}{4}$EF,點M在線段GF上(包括兩端點),點
N在線段AB上,且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$,則二面角M-DN-C的平面角的取值范圍為( 。
A.[30°,45°]B.[45°,60°]C.[30°,90°)D.[60°,90°)

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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a}{x}$+lnx-1,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點P(1,y0)處的切線平行于直線y=-x+1,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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20.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,E為B1C1的中點,F(xiàn)在CC1上,且C1F=1,G在AA1上,且AG=2.
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