Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

1+x

，x∈（-1，1）．
（1）用單調(diào)性的定義證明f（x）在x∈（-1，1）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥a（x²-3x+2）對于任意x∈（-1，1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義法設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，做差f（x₁）-f（x₂），證明其大于0即可，
（2）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷在（-1，1）上，y=x²-3x+2＞0，不等式兩邊同時除以x²-3x+2，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解．

解答： 解：（1）證明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
又∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，
∴（1+x₁）（1+x₂）＞0，
x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在x∈（-1，1）上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）∵y=x²-3x+2=（x-2）（x-1）在（-1，1）上單調(diào)遞減且恒有y＞0，
不等式f（x）≥a（x²-3x+2）對于任意x∈（-1，1）恒成立，
即為a≤

f(x)

x2-3x+2

，對于任意x∈（-1，1）恒成立，
令g（x）=

f(x)

x2-3x+2

=

1-x 1+x

(x-2)(x-1)

=

1

-(x+1)(x-2)

，
當(dāng)x=

1

2

時取得最小值，g（

1

2

）=

4

9

，
所以a的取值范圍是a≤

4

9

．

點評：本題考察定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，尤其是恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是解決恒成立問題的常用方法．