Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式對(duì)一切滿(mǎn)足條件的a，b恒成立的個(gè)數(shù)是（ ）
①ab≤1；        ②；    ③a²+b²≥2；       ④a³+b³≥3；    ⑤．
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：題目給出了兩個(gè)和為常數(shù)2的正數(shù)a，b，我們可以借助于基本不等式及其變形式直接推導(dǎo)出其中①③⑤是正確的，②④可以通過(guò)舉反例說(shuō)明不正確．
解答：解：由a＞0，b＞0，a+b=2，則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立），所以，①正確；
由，所以，，所以，，所以，②正確；
由=（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立），所以，③正確；
若a=b=1，滿(mǎn)足a＞0，b＞0，a+b=2，但a³+b³=1³+1³=2＜3，所以，④不正確；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103158869111297/SYS201311031031588691112009_DA/6.png">，而，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立），所以，⑤正確．
所以，正確的是①②③⑤．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，考查了不等式的變形，考查了舉反例剔除法，運(yùn)用基本不等式解決問(wèn)題時(shí)一定要注意使用條件，此題是中檔題．