Question

記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁+a₃=2且S₈=-52．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=4-b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=

|an|

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和L_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組能求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=4-b_n，分別求出T_n，T_n-1，兩式相減后進(jìn)行整理能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式及cn=

|an|

bn

，推導(dǎo)出c_n=

(7-3n)•2n-2，n≤2 (3n-7)•2n-2，n＞3

，由此利用分類(lèi)討論法和錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和L_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₃=2且S₈=-52，
∴

2a1+2d=2 8a1+28d=-52

，解之得

a1=4 d=-3

，
故a_n=7-3n；…（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=4-b_n，且T_n-1=4-b_n-1，兩式相減得

bn

bn-1

=

1

2

  (n≥2)．
由已知得b₁=4-b₁，解得b₁=2，
∴

a2

a1

=

1

2

．
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=2、公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
∴bn=2(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2．…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=7-3n，bn=(

1

2

)n-2，
∴cn=

|an|

bn

=

|7-3n|

( 1 2 )n-2

=|7-3n|•2^n-2
=

(7-3n)•2n-2，n≤2 (3n-7)•2n-2，n＞3

，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，L_n=2；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，L_n=3； …（9分）
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，Ln=3+2•21+5•22+8•23+…+(3n-7)•2n-2，
2L_n=6+2•2²+5•2³+…+（3n-10）•2^n-2-（3n-7）•2^n-1，
兩式相減得：
-Ln=-3+4+3•22+3•23+…+3•2n-2-(3n-7)•2n-1
=1+3（2²+2³+…+2^n-2）-（3n-7）•2^n-1
=-11-（3n-10）•2^n-1
故Ln=11+(3n-10)•2n-1．
所以Ln=

2                          (n=1) 3                          (n=2) 11+(3n-10)•2n-1  (n≥3)

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．