Question

對于連續(xù)函數(shù)f（x）和g（x），函數(shù)|f（x）-g（x）|在閉區(qū)間[a，b]上的最大值為f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上的“絕對差”，記為

△

a≤x≤b

(f(x)，g(x))則

△ -2≤x≤3 ( 1 3 x3， 1 2 x2+2x)

=

10

3

．

Answer 1

分析：由已知中關(guān)于f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上的“絕對差”的定義，我們構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，再利用導(dǎo)數(shù)確定h（x）的單調(diào)性和極值，與h（-2）和h（3）比較即可得h（x）的最值，進(jìn)而得到|h（x）|的最大值，可得到答案．

解答：解：令h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，x∈[-2，3]，
∴h'（x）=x²-x-2，x∈[-2，3]，
令h'（x）=x²-x-2＞0，解得，-2≤x＜-1或2＜x≤3，
令h'（x）=x²-x-2＜0，解得，-1＜x＜2，
∴h（x）在[-2，-1）上單調(diào)遞增，（-1，2）上單調(diào)遞減，（2，3]上單調(diào)遞增，
∴h（-2）=-

2

3

，h（-1）=

7

6

，h（2）=-

10

3

，h（3）=-

3

2

，
∴h(x)∈[-

10

3

，

7

6

]，
∴|h（x）|_max=

10

3

，
∴

△ -2≤x≤3 ( 1 3 x3， 1 2 x2+2x)

⁼

10

3

．
故答案為：

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是利用求導(dǎo)公式正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值最終解決問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是近年高考考查的重點(diǎn)．屬于中檔題．