Question

在直角坐標(biāo)平面xoy中，已知點(diǎn)F₁（-5，0）與點(diǎn)F₂（5，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面xoy上的一個(gè)動點(diǎn)，直線PF₁與PF₂的斜率kPF1與KPF2都存在，且kPF1•kPF2=λ，λ為一個(gè)常數(shù)．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡T的方程，并說明軌跡T是什么樣的曲線．
（2）設(shè)A、B是曲線T上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C為曲線T上異于點(diǎn)A、B的另一任意點(diǎn)，且直線AC與BC的斜率k_AC與k_BC都存在，若kAC•kBC=-

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，求常數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)P（x，y），求得kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

，利用kPF1•kPF2=λ可得動點(diǎn)P的軌跡T的方程，對λ討論，可得軌跡；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則點(diǎn)B（-x，-y），設(shè)C（x₀，y₀），則kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

，利用kAC•kBC=-

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25

，A，C在曲線T上，即可求得λ的值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

由kPF1•kPF2=λ得y²-λx²=-25λ（x≠±5）
∴動點(diǎn)P的軌跡T的方程為y²-λx²=-25λ（x≠±5）
①λ＜-1時(shí)，軌跡T是一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且去除短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的橢圓；
②λ=-1時(shí)，軌跡T是一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5且去掉與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的圓；
③-1＜λ＜0時(shí)，軌跡T是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上且去除長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的橢圓；
④λ=0時(shí)，方程為y=0（x≠±5），軌跡T是去掉兩個(gè)點(diǎn)的一條直線
⑤λ＞0時(shí)，軌跡T是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上且去除實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的雙曲線；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則點(diǎn)B（-x，-y），設(shè)C（x₀，y₀），則kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

∵kAC•kBC=-

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∴

y0-y

x0-x

•

y0+y

x0+x

=-

9

25

∴

y02-y2

x02-x2

=-

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①
∵A，C在曲線T上
∴y²=λx²-25λ（x≠±5），y02=λx02-25λ(x0≠±5)
代入①可得λ=-

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點(diǎn)評：本題考查軌跡與方程，考查斜率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，利用斜率公式求解．