Question

已知

a

=（

3

2

sinx，cosx），

b

=（2cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量和三角函數(shù)可得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，易得最值和周期；（2）由條件和C的范圍可得C值，進(jìn)而由正余弦定理可得a和b的方程組，解方程組代入三角形的面積公式計(jì)算可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

2

sinx，cosx），

b

=（2cosx，-cosx），
∴f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值為-2，最小正周期為

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，
解得sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a  ①
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
把c=

3

代入化簡可得a²+b²-ab=3  ②
由①②聯(lián)立解得a=1，b=2，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．