Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f(x)=

lnx

x

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對(duì)數(shù)的底），求證：a^b＞b^a；（3）求滿足a^b=b^a（a≠b）的所有正整數(shù)a，b的值．

Answer 1

（1）∵f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：

lna

a

=

lnb

b

．
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，∴

ln1

1

＜

ln2

2

＜

lne

e

＞

ln3

3

＞

ln4

4

＞

ln5

5

＞…，
發(fā)現(xiàn)

ln2

2

=

ln4

4

，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．