Question

已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，三個側(cè)面均為矩形，底面ABC為等腰直角三角形，C₁C=CA=CB=2，點D為棱CC₁的中點，點E在棱B₁C₁上運動．
（I）求證A₁C⊥AE；
（II）當點E到達某一位置時，恰使二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值為，求；
（III）在（II）的條件下，在平面ABC上確定點F，使得EF⊥平面A₁DB？并求出EF的長度．

Answer 1

【答案】分析：（I）以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，C為原點建立坐標系，設(shè)E（m，0，2），要證A₁C⊥AE，可證⊥，只需證明=0，利用向量的數(shù)量積運算即可證明；
（II）分別求出平面EA₁D、平面A₁DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；
（III）在（II）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知與平面A₁DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案；
解答：解：（I）以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，C為原點建立坐標系，設(shè)E（m，0，2），
C（0，0，0），A（0，2，0），A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
=（0，-2，-2），=（m，-2，2），
因為=0+（-2）×（-2）-2×2=0，
所以⊥，即A₁C⊥AE；
（II）=（m，0，1），=（0，2，1），
設(shè)=（x，y，z）為平面EA₁D的一個法向量，
則，即，取=（2，m，-2m），
=（2，0，-1），設(shè)=（x，y，z）為平面A₁DB的一個法向量，
則，即，取=（1，-1，2），
由二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值為，得||=，解得m=1，
所以=；
（III）由（II）知E（1，0，2），且=（1，-1，2）為平面A₁DB的一個法向量，
設(shè)F（x，y，0），則=（x-1，y，-2），且，所以x-1=-1，y=1，解得x=0，y=1，
所以=（-1，1，-2），||==，
故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．
點評：本題考查重點考查直線與平面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力．