如圖,設(shè)計一個小型正四棱錐形冷水塔,其中頂點P在底面的射影為正方形ABCD的中心O,返水口E為BC的中點,冷水塔的四條鋼梁(側(cè)棱)設(shè)計長度均為10米.冷水塔的側(cè)面選用鋼板,基于安全與冷凝速度的考量,要求鋼梁(側(cè)棱)與底面的夾角α落在區(qū)間內(nèi),如何設(shè)計可得側(cè)面鋼板用料最省且符合施工要求?

【答案】分析:根據(jù)題意,算出底面邊長等于,從而在Rt△P0E中算出,可得側(cè)面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式:S側(cè)面=,由sinα∈[]即可算出當(dāng)α=時,側(cè)面鋼板用料最省.由此可得相應(yīng)的底面邊長和高,得到本題答案.
解答:解:依題意,可得
鋼梁(側(cè)棱)與底面的夾角為∠PBO=α.
∴OP=10sinα,-------------------------(2分)

可得---------(4分)
在Rt△POE中,
,---(6分)
-------(8分)
=----------------------------(10分)
又∵,可得,----------(11分)
∴當(dāng)且僅當(dāng)時,側(cè)面積取得最小值,等于---------------(13分)
此時的,,
即冷水塔的底面邊長應(yīng)設(shè)計為米,高米時,側(cè)面鋼板用料最省--------(14分)
點評:本題給出實際應(yīng)用問題,求側(cè)面積的最小值.著重考查了正棱錐的性質(zhì)、直線與平面所成角、解直角三角形和三角函數(shù)模型的應(yīng)用等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,設(shè)計一個小型正四棱錐形冷水塔,其中頂點P在底面的射影為正方形ABCD的中心O,返水口E為BC的中點,冷水塔的四條鋼梁(側(cè)棱)設(shè)計長度均為10米.冷水塔的側(cè)面選用鋼板,基于安全與冷凝速度的考量,要求鋼梁(側(cè)棱)與底面的夾角α落在區(qū)間[
π
6
π
3
]
內(nèi),如何設(shè)計可得側(cè)面鋼板用料最省且符合施工要求?

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