Question

關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是——（寫出所有正確命題的編號）

①不論a，b取什么值，函數(shù)f（x）的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對稱.

②若a=b≠0，則函數(shù)f（x）的極小值是2a，極大值是-2a.

③當(dāng)ab≠0時(shí)，函數(shù)f（x）圖像上任意一點(diǎn)的切線都不可能經(jīng)過原點(diǎn).

④當(dāng)a>0，b>0時(shí)，對函數(shù)f（x）圖像上任意一點(diǎn)A，圖像上存在唯一的點(diǎn)B，使得.（點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)）

⑤當(dāng)ab≠0時(shí)，函數(shù)f（x）圖像上任意一點(diǎn)的切線與直線y=ax及y軸圍成的三角形的面積是定值.

 

Answer 1

①③⑤

【解析】

試題分析：對于①，∵ ，所以①正確;對于②，當(dāng)a=b>0時(shí)，，當(dāng)x>1或x<-1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，-1<x<1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以f（1）=2a為極小值，f（-1）=-2a為極大值；當(dāng)a=b<0時(shí)，，當(dāng)x>1或x<-1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，-1<x<1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以f（1）=2a為極大值，f（-1）=-2a為極小值；故②錯(cuò)誤；

對于③，假設(shè)當(dāng)ab≠0時(shí)，函數(shù)f（x）圖像上任意一點(diǎn)的切線可能經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)切線方程為，將與聯(lián)立，得，當(dāng)k=a時(shí)，b=0,與題設(shè)矛盾；當(dāng)k>a，b>0時(shí)，令

所以，這與k>a，b>0時(shí)矛盾；當(dāng)k<a，b<0時(shí)，令

所以，這與k<a，b<0時(shí)矛盾；綜上假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤；對于④，假設(shè)④成立，設(shè)a=b=1，設(shè)A（1,2）,B（），可知，方程無解，故假設(shè)不成立，即④錯(cuò)誤；對于⑤，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（），所以切線方程為：，令x=0，得；聯(lián)立得，故所圍三角形的面積是，故⑤正確.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的極值；3.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線.