Question

如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題

分析：設(shè)KH的中點(diǎn)為S，連接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似結(jié)合E為MN的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)可得A，E，S共線，F(xiàn)為QR的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)得B，F(xiàn)，S共線，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，結(jié)合G為EF的中點(diǎn)可得G為PS的中點(diǎn)，即G的軌跡為△CSD的中位線，由三角形的中位線長(zhǎng)是底邊的一半得答案．

解答： 解：如圖，

設(shè)KH的中點(diǎn)為S，連接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E為MN的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)，∴A，E，S共線，
F為QR的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)，∴BFS共線，
由△AME∽△PQF，得∠SAP=∠FPB，∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA=∠FBP，∴PE∥FS，
則四邊形PESF為平行四邊形，則G為PS的中點(diǎn)，
∴G的軌跡為△CSD的中位線，
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，∴點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

1

2

×4=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了三角形的中位線知識(shí)，考查了三角形相似及動(dòng)點(diǎn)的軌跡，是中檔題．