Question

（文科）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4，點M在線段CC₁上．
（1）求異面直線A₁B與AC所成角的大��；
（2）若直線AM與平面ABC所成角為

π

4

，求多面體ABM-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）利用異面直線所成角的定義再結合正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性質(zhì)可得直線A₁B與A₁C₁所成的角即為所求然后在三角形A₁C₁B利用余弦定理即可得解．
（2）由于多面體ABM-A₁B₁C₁的不規(guī)則性故可利用VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC因此需利用直線AM與平面ABC所成角為

π

4

來確定點M的位置后問題就解決了．

解答：解：（1）連接BC₁則由于在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AC∥A₁C₁故異面直線A₁B與AC所成角即為直線A₁B與A₁C₁所成的角
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4
∴BC₁=2

5

，A₁B=2

5

，A1C1=2

2

∴cos∠BA₁C₁=

BA12+A1C12-BC12

2BA1A1C1

=

10

10

∴異面直線A₁B與AC所成角即為arccos

10

10

（2）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=

π

4

∵BC=2
∴MC=2
∵VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC
∴VABM-A1B1C1=

1

2

×2×2×4-

1

3

×

1

2

×2×2×2=

20

3

即多面體ABM-A₁B₁C₁的體積為

20

3

點評：本題主要考查了異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角而第二問對于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體ABM-A₁B₁C₁的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）！