Question

【題目】設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的導函數(shù)為f′（x），且f′（x）是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程為（ ）
A.y=3x+1
B.y=﹣3x
C.y=﹣3x+1
D.y=3x﹣3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），因為f′（x）是偶函數(shù)，
所以f′（﹣x）=f′（x）恒成立，即3（﹣x）2﹣2ax+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3）恒成立，
所以a=0，所以f′（x）=3x2﹣3，
所以f′（0）=﹣3，所以曲線y=f（x）在原點處的切線方程是y=﹣3x，
故選：B
【考點精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和基本求導法則對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導．