Question

9．給出下列四種說法，說法正確的有①③（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
①函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$和y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$都是既奇又偶的函數(shù)；
③已知對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x都有$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，則f（2）=-$\frac{1}{3}$；
④函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（a，c）上一定是增函數(shù)．

Answer 1

分析 ①函數(shù)y=a^x的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)閍^x＞0，x∈R；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定義域?yàn)閧-1，1}，y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$的定義域?yàn)閧1}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
③由$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=$\frac{2}{x}$+1，聯(lián)立可得f（x）=$\frac{4}{3x}$$-\frac{2x}{3}$$+\frac{1}{3}$，代入求值即可；
④函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，只能說明函數(shù)的增區(qū)間為（a，b]和（b，c）．

解答 解：①函數(shù)y=a^x的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=log_aa^x（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)閍^x＞0，x∈R，故正確；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定義域?yàn)閧-1，1}，且f（x）=0，是既奇又偶的函數(shù)，y=$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$的定義域?yàn)閧1}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；
③由$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=2x+1$，得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=$\frac{2}{x}$+1，聯(lián)立可得f（x）=$\frac{4}{3x}$$-\frac{2x}{3}$$+\frac{1}{3}$，得則f（2）=-$\frac{1}{3}$，故正確；
④函數(shù)f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函數(shù)，只能說明函數(shù)的增區(qū)間為（a，b]和（b，c），但函數(shù)f（x）在（a，c）上不一定是增函數(shù)，故錯(cuò)誤．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)定義域的求法，函數(shù)奇偶性的判定，抽象函數(shù)的求解和單調(diào)區(qū)間的確定．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．