Question

（2009•虹口區(qū)一模）如圖，正四棱錐V-ABCD的高和底面的邊長均相等，E是棱VB的中點．
（1）求證：AC⊥VD；
（2）（文科）求：異面直線CE和VD的夾角大��；
     （理科）求：二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AB，CD交于O，通過證明AC⊥BD，AC⊥VO證得AC⊥面VDB，再證明AC⊥VD
（2）（文科）可知OE∥VD，所以∠CEO （或其補(bǔ)角）即為異面直線CE和VD的夾角．在△CEO 中求解即可．
（理科）由（1）得出AC⊥OE，AC⊥OB，所以∠EOB為二面角E-AC-B的平面角，在△EOH 求解即可

解答：解：（1）證明連接AB，CD交于O
則AC⊥BD，AC⊥VO，且BD∩VO=O，∴AC⊥面VDB，又VD?VDB∴AC⊥VD．
（2）（文科）
∵E是棱VB的中點，所以O(shè)E∥VD，∴∠CEO （或其補(bǔ)角）即為異面直線CE和VD的夾角．設(shè)高和底面的邊長均為2，則在△VBC中，VC²=VO²+OC²=2²+

2

2=6，VC=

6

．
cos∠CVB=

VC2+VB2-CB2

2×VB×VC

=

6+6-4

2× 6 × 6

=

2

3

，CE²=VC²+VE²-2VC×VE×cos∠CVB=6+

6

4

 -2×

6

×

6

2

×

2

3

=

7

2

在△CEO 中，cos∠CEO=

EO2+ EC2-OC2

2×EO×EC

=

6 4 + 7 2 -2

2× 6 2 × 7 2

=

21

7

∴∠CEO=arccos

21

7

．即異面直線CE和VD的夾角大小為arccos

21

7

．
（理科）
由（1）AC⊥面VDB，，∴AC⊥OE，AC⊥OB，∴∠EOB為二面角E-AC-B的平面角，取BO中點 H，則EH∥VO，EH⊥面ABCD  且 EH=1，
在直角△EOH，tan∠EOB=

EH

OH

= 

1

2 2

=

2

，，∴∠EOB=arctan

2

，即二面角E-AC-B的大小為arctan

2

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線的夾角、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力