Question

（本題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,,,且為中點(diǎn).

(I)證明:平面;

(II)求直線與平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一點(diǎn),使得平面,若不存在,說(shuō)明理由;若存在,確定點(diǎn)的位置.

 

Answer 1

【答案】

(I)證明見(jiàn)解析

(II)

(III) 存在這樣的點(diǎn)E,E為的中點(diǎn)

【解析】(1)因?yàn)閭?cè)面底面,所以只需證明即可.

（2）可以以O(shè)為原點(diǎn)，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ_１所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量的方法求解線面角的問(wèn)題.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上也可以用向量來(lái)求點(diǎn)E位置.也可以取BC的中點(diǎn)M，連接OM，取BC₁的中點(diǎn)E，連接ME，則OM//AB，ME//BB₁//AA₁，所以平面OMB//平面AA₁B，所以O(shè)E//平面.從而確定E為BC₁的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415304681715947/SYS201208241531212611340164_DA.files/image007.png">,且O為AC的中點(diǎn),

所以 

又由題意可知,平面平面,交線為,且平面,

所以平面 

(Ⅱ)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知,又 

所以得: 

則有: 

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有

,令,得 

所以 

 

因?yàn)橹本�與平面所成角和向量與所成銳角互余,所以 

(Ⅲ)設(shè) 

即,得 

所以得 

令平面,得 , 

即得 

即存在這樣的點(diǎn)E,E為的中點(diǎn)