Question

18．在正項等比數(shù)列{a_n}中a₃+a₄=$\frac{3}{8}$，a₆=1，則滿足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整數(shù)n的值為12．

Answer 1

分析 設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}首項為a₁，公比為q，由題意可得關(guān)于這兩個量的方程組，解之可得數(shù)列的通項公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表達式，化簡可得關(guān)于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．

解答 解：∵在正項等比數(shù)列{a_n}中a₃+a₄=$\frac{3}{8}$，a₆=1，
∴a₁q²（1+q）=$\frac{3}{8}$①，
a₁q⁵=1②，q為數(shù)列的公比，
聯(lián)立①②，解得a₁=$\frac{1}{32}$，q=2，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{\frac{1}{32}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{32}$（2ⁿ-1），
S_n=a₁a₂…a_n=$（\frac{1}{32}）^{n}$•2^1+2+…+n-1=${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n}$．
由題意可得T_n＞S_n，即$\frac{1}{32}$（2ⁿ-1）＞${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n}$，
化簡得：2ⁿ-1＞${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5}$，即2ⁿ-${2}^{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5}$＞1，
因此只須n＞$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+5$，即n²-13n+10＜0
解得 $\frac{13-\sqrt{129}}{2}$＜n＜$\frac{13+\sqrt{129}}{2}$，
由于n為正整數(shù)，因此n最大為$\frac{13+\sqrt{129}}{2}$的整數(shù)部分，也就是12．
故答案為：12．

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題．