Question

2．已知x∈（0，+∞）時(shí)，不等式9^x-m•3^x+m+1＞0恒成立，則m的取值范圍是（　�。�

• A． 2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$
• B． m＜2
• C． m＜2+2$\sqrt{2}$
• D． m$≥2+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分離參數(shù)m，原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為m＜（3^x-1）+$\frac{2{•3}^{x}}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞），利用基本不等式可求得g（x）_min，從而可得m的取值范圍．

解答 解：由9^x-m•3^x+m+1＞0得：m（3^x-1）＜9^x+1=（3^x-1）²+2•3^x，
∵x∈（0，+∞），
∴3^x＞1，即3^x-1＞0，
∴m＜（3^x-1）+$\frac{2{•3}^{x}}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{2{（3}^{x}-1）+2}{{3}^{x}-1}$
=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞）恒成立，
令g（x）=（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2（0＜x＜∞），
則m＜g（x）_min，
∵（3^x-1）+$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+2≥2$\sqrt{{（3}^{x}-1）•\frac{2}{{3}^{x}-1}}$+2=2$\sqrt{2}$+2（當(dāng)且僅當(dāng)3^x-1=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$，
即x=log₃（$\sqrt{2}$+1）時(shí)取等號(hào)），
∴g（x）_min=2$\sqrt{2}$+2，
∴m＜2$\sqrt{2}$+2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)m是關(guān)鍵，考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，突出考查構(gòu)造法與基本不等式的綜合運(yùn)用，屬于難題．