Question

已知A（3，0），B（0，4），若圓M：x²+y²=r²（r＞0）上有且僅有兩點C使△ABC面積等于

5

2

，則實數(shù)r的取值范圍是（　　）

• A、（1，3）
• B、（

  7

  5

  ，

  12

  5

  ）
• C、（

  12

  5

  ，

  17

  5

  ）
• D、（

  7

  5

  ，

  17

  5

  ）

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：先求得|AB|=5，根據(jù)題意可得兩點M，N到直線AB的距離為1．求出AB的方程為4x+3y-12=0，當(dāng)圓上只有一個點到直線AB的距離為1時，求得r的值；當(dāng)圓上只有3個點到直線AB的距離為1時，求得r的值，從而求得滿足條件的r的取值范圍．

解答： 解：由題意可得|AB|=

9+16

=5，
根據(jù)圓M：x²+y²=r²（r＞0）上有且僅有兩點C使△ABC面積等于

5

2

，
可得點C到直線AB的距離為1．
由于AB的方程為

x

3

+

y

4

=1，即 4x+3y-12=0．
若圓上只有一個點到直線AB的距離為1，
則有圓心（0，0）到直線AB的距離

|0+0-12|

9+16

=r+1，解得r=

7

5

．
若圓上只有3個點到直線AB的距離為1，
則有圓心（0，0）到直線AB的距離

|0+0-12|

9+16

=r-1，解得r=

17

5

，
∴實數(shù)r的取值范圍是（

7

5

，

17

5

）．
故選：D．

點評：本題主要考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要注意直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．