Question

【題目】對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合相對(duì)的“余弦方差”.

（1）若集合，，求集合相對(duì)的“余弦方差”；

（2）求證：集合相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，并求此定值；

（3）若集合，，，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，求出、.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定值；（3），或，

【解析】

由“余弦方差”的定義,對(duì)（1）（2）（3）逐個(gè)求解或證明即可.

（1）依題意：；

（2）由“余弦方差”定義得：，

則分子

為定值，與的取值無關(guān).

（3），

分子

.

要使是一個(gè)與無關(guān)的定值,則,

,

與終邊關(guān)于軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

又,

得與終邊只能關(guān)于軸對(duì)稱,

,

又，，

則當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.

，或，.

故，或，時(shí),相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值.