【題目】已知數(shù)列滿足：， . （其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意成立？若存在，求出的一個值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析(2) 不存在滿足條件的實(shí)數(shù)

【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問，先證明一個不等式，再利用該不等式證明. (2)第（Ⅱ）問，先利用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用該不等式證明不存在實(shí)數(shù)M.

試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)，令，得到.

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.

故 ，所以.

（Ⅱ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)時，.②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，那么當(dāng)時， ，也成立.故對都有.

所以.

取，

.

即 .

所以，對任意實(shí)數(shù)，取，且，，

則.

故，不存在滿足條件的實(shí)數(shù).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是36m。

（1）把每間熊貓居室的面積s（單位：）表示為寬x（單位：m）的函數(shù)，求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；

（2）當(dāng)寬為多少時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室最大面積是多少？

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.

(1)求證：直線過某一定點(diǎn)；

(2)當(dāng)直線的斜率為正數(shù)時，若以為直徑的圓過，求的內(nèi)切圓與的外接圓的半徑之比.

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【題目】已知二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值為0.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若對任意恒成立，試求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)

（1）證明：在上單調(diào)遞減；

（2）已知在單調(diào)遞增，記函數(shù)的最小值為.

①求的表達(dá)式；

②求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若，且，求的最小值；

（2）若，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面四邊形中（如圖1），為的中點(diǎn)，，，且，，現(xiàn)將此平面四邊形沿折起使二面角為直二面角，得到立體圖形（如圖2），又為平面內(nèi)一點(diǎn)，并且為正方形，設(shè)，，分別為，，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：面面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得面與面所成二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，滿足，且的兩實(shí)根之積為4．

（1）求的解析式；

（2）求函數(shù)，在上的最大值（用表示）．

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【題目】已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是，的交點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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