Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且

Sn

an

=

1

2

an+1(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n為{b_n}的前n項和，求證：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*；
（Ⅲ）是否存在正整數m，d，使得

lim

n→∞

[(

1

3

)m+(

1

3

)m+d+(

1

3

)m+2d+…+(

1

3

)m+(n-1)d]=

1

a8

成立？若存在，請求出m和d的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件可知an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．由此可以導出a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，故bn=log2

2n

2n-1

．從而Tn=b1+b2++bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)．由此入手能夠證明2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）由題意知(

1

3

)an=(

1

3

)n．a₈=8，所以

lim

n→∞

[(

1

3

)m+(

1

3

)m+d+(

1

3

)m+2d++(

1

3

)m+(n-1)d]=

( 1 3 )m

1-( 1 3 )d

=

1

8

，由此入手能夠推導出存在正整數m=d=2，使得

lim

n→∞

[(

1

3

)m+(

1

3

)m+d+(

1

3

)m+2d++(

1

3

)m+(n-1)d]=

1

a8

成立．

解答：解：（Ⅰ）已知式即Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
因為a_n≠0，當然a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于a1=S1=

1

2

a1a2，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．
從而Tn=b1+b2++bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
設f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
則f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特別地f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅲ）易得(

1

3

)an=(

1

3

)n．
注意到a₈=8，則有

lim

n→∞

[(

1

3

)m+(

1

3

)m+d+(

1

3

)m+2d++(

1

3

)m+(n-1)d]=

( 1 3 )m

1-( 1 3 )d

=

1

8

，
即(

1

3

)m=

1

8

[1-(

1

3

)d]，整理得3^m-3^m-d=8．①
當m≥d時，由①得3^m-d（3^d-1）=8．
因為m，d∈N^*，所以m=d=2．
當m＜d時，由①得3^d-1=8•3^d-m．②
因為m＜d，故②式右邊必是3的倍數，而左邊不是3的倍數，所以②式不成立，
即當m＜d時，不存在m，d∈N^*，使得①式成立．
綜上所述，存在正整數m=d=2，
使得

lim

n→∞

[(

1

3

)m+(

1

3

)m+d+(

1

3

)m+2d++(

1

3

)m+(n-1)d]=

1

a8

成立．

點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．