Question

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2，AD＝2．

(1)求證：PB⊥AC；

(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PB⊥平面ACE？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形， 　　所以BD⊥AC． 　　因?yàn)镻D⊥平面ABCD， 　　所以PD⊥AC． 　　因?yàn)锽D∩PD＝D， 　　所以AC⊥平面PBD， 　　所以PB⊥AC． 　　(2)解：存在這樣的點(diǎn)E，使得PB⊥平面ACE，此時(shí)，點(diǎn)E在PB的四分之一分點(diǎn)處(靠近B點(diǎn))．證明如下： 　　在Rt△PBD中，BD＝PD＝2， 　　所以△PBD為等腰直角三角形． 　　如上圖，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，取PB的中點(diǎn)為H，連接DH，則DH⊥PB． 　　取E為線段PB上靠近點(diǎn)B的四分之一分點(diǎn)， 　　則E為BH的中點(diǎn)． 　　連接OE，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)， 　　所以O(shè)E∥DH，所以O(shè)E⊥PB． 　　由(1)知PB⊥AC， 　　又因?yàn)锳C∩OE＝O， 　　所以PB⊥平面ACE． 　　點(diǎn)評(píng)：開放性問題的作答一般是從待求的結(jié)論出發(fā)，探索所需條件，逐步分析，找到滿足的條件后，再以此條件為基礎(chǔ)完成證明．