Question

15．某皮革公司旗下有許多手工足球作坊為其生產(chǎn)足球，公司打算生產(chǎn)兩種不同類型的足球，一款叫“飛火流星”，另一款叫“團(tuán)隊(duì)之星”．每生產(chǎn)一個(gè)“飛火流星”足球，需要橡膠100g，皮革300g；每生產(chǎn)一個(gè)“團(tuán)隊(duì)之星”足球，需要橡膠50g，皮革400g．且一個(gè)“飛火流星”足球的利潤(rùn)為40元，一個(gè)“團(tuán)隊(duì)之星”足球的利潤(rùn)為30元．現(xiàn)旗下某作坊有橡膠材料2.5kg，皮革12kg．
（1）求該作坊可獲得的最大利潤(rùn)；
（2）若公司規(guī)定各作坊有兩種方案可供選擇，方案一：作坊自行出售足球，則所獲利潤(rùn)需上繳10%方案二：作坊選擇由公司代售，則公司不分足球類型，一律按相同的價(jià)格回收，作坊每個(gè)球獲得30元的利潤(rùn)．若作坊所生產(chǎn)的足球可全部售出，請(qǐng)問該作坊選擇哪種方案更劃算？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該作坊生產(chǎn)“飛火流星”足球x個(gè)，“團(tuán)隊(duì)之星”足球y個(gè)，作坊獲得的利潤(rùn)為z元．則$\left\{{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤12000}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\begin{array}{l}{\;}\\ left\{\;}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=40x+30y，（x，y∈N）．由圖可求該作坊可獲得的最大利潤(rùn)．
（2）分別求出兩種方案的利潤(rùn)即可．

解答 【解析】（1）設(shè)該作坊生產(chǎn)“飛火流星”足球x個(gè)，
“團(tuán)隊(duì)之星”足球y個(gè)，作坊獲得的利潤(rùn)為z元．


則$\left\{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤1200}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目標(biāo)函數(shù)z=40x+30y，（x，y∈N）．…（3分）
由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（16，18）時(shí)，
z取得最大值1180，即該作坊可獲得的最大利潤(rùn)為1180元．…（6分）
（2）若作坊選擇方案一，則其收益為1180×（1-10%）=1062元；…（8分）
若作坊選擇方案二，則作坊生產(chǎn)的足球越多越好，設(shè)其生產(chǎn)的足球個(gè)數(shù)為t，
則t=x+y，（x，y∈N），由（1）知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作圖分析可知，當(dāng)x=16，y=18時(shí)，t取得最大值，此時(shí)作坊的收益為（16+18）×30=1020元，
故選擇方案一更劃算．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)、不等式組，及線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．