如圖，在△ABC中，AB=
2
3
AC，D、E分別為邊AB、AC的中點，CD與BE相交于點P，
（1）若AB=2，四邊形ADPE的面積記為S（A），試用角A表示出S（A），并求S的最大值；
（2）若
BE
CD
＜t恒成立，求t的最小值．
分析：（1）利用重心的性質和等底或等高的三角形的面積的比及三角函數(shù)的單調性即可得出；
（2）利用余弦定理和三角函數(shù)的單調性即可得出．
解答：解：（1）∵點P是△ABC的重心，
∴S=S△APD+S△AEP=
1
3
S△ABC=
1
6
AB•AC•sinA=
1
6
×2×3×sinA=sinA．
當A=
π
2
時，S取得最大值1．
（2）設AB=2x，AC=3x，
BE2
CD2
=
4x2+
9x2
4
-2×2x×
3x
2
cosA
9x2+x2-2×x×3x×cosA
=
25-24cosA
40-24cosA
=1-
15
40-24cosA
，
∵A∈（0，π），∴cosA∈（-1，1），可得
1
4
＜
BE
CD
＜
7
8
，
若
BE
CD
＜t恒成立，則t≥
7
8
，
∴t的最小值為
7
8
．
點評：熟練掌握重心的性質、等底或等高的三角形的面積的比、三角函數(shù)的單調性、余弦定理是解題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大��；
（2）求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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