【題目】已知拋物線，且拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且直線垂直于直線．

（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的最大值．

【答案】（1）證明見解析，定點(diǎn)；（2）50

【解析】

（1）首先根據(jù)題意求出拋物線方程，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線互相垂直，求出直線的斜率，求出直線的方程，進(jìn)而可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，求出的橫坐標(biāo)，最后利用弦長(zhǎng)公式，即可求解．

（1）由題意可得．

當(dāng)時(shí)，，

拋物線的方程為．

．

設(shè)，

，

，

化簡(jiǎn)得．

又，

直線的方程為，

即．

將式代入直線的方程，得：，

令，則，

可得直線過(guò)定點(diǎn)．

（2）設(shè)直線的方程為，

不妨設(shè)，易知，

聯(lián)立，得，得，

，

利用根與系數(shù)的關(guān)系得

同理可得，

易知，

，

，

的最大值為50．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】嫦娥四號(hào)任務(wù)經(jīng)過(guò)探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議，通過(guò)并且正式開始實(shí)施，如圖所示.假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過(guò)定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能服務(wù)器芯片“鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”、“特斯拉全自動(dòng)駕駛芯片”、寒武紀(jì)云端AI芯片、“思元270”、賽靈思“Versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”．現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某果園今年的臍橙豐收了，果園準(zhǔn)備利用互聯(lián)網(wǎng)銷售.為了更好的銷售，現(xiàn)隨機(jī)摘下了個(gè)臍橙進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如下圖所示：

（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的臍橙中隨機(jī)抽取個(gè)，再?gòu)倪@個(gè)臍橙中隨機(jī)抽個(gè)，求這個(gè)臍橙質(zhì)量都不小于克的概率；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該果園的臍橙樹上大約還有個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：甲：所有臍橙均以元/千克收購(gòu)；乙：低于克的臍橙以元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于克的以元/個(gè)收購(gòu).請(qǐng)通過(guò)計(jì)算為該果園選擇收益最好的方案.

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程；

Ⅱ若直線與曲線C交于點(diǎn)不同于原點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)B，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列， 是數(shù)列的前項(xiàng)和，

（1）若，求；

（2）已知，且對(duì)任意的，有恒成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，且存在正整數(shù)，使得，求當(dāng)最大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱錐，為圓柱的一條母線，，為下底面圓的直徑，，.

（1）在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論.

（2）設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn).

（1）求二面角M—AC—D的余弦值；

（2）點(diǎn)N是棱PC上的點(diǎn)，已知直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為，求的值.

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