Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．

（1）求雙曲線的方程；

（2）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓：．過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為，問(wèn)：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) .

【解析】

試題分析：(1)由拋物線的焦點(diǎn)求的雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由求得點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得雙曲線的方程；（2）首先利用直線與圓相切求得圓，再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)求值即可，需注意直線的形式，有無(wú)斜率需考慮.

試題解析：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，

∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，                  1分

設(shè)在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，          3分

∴，                  4分

又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，∴， ∴雙曲線的方程為：．            6分

（2）為定值．下面給出說(shuō)明．

設(shè)圓的方程為：， ∵圓與直線相切，

∴圓的半徑為，故圓：．             7分

顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，                  8分

設(shè)的方程為，即，

設(shè)的方程為，即，

∴點(diǎn)到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為，                  10分

∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，           11分

直線被圓截得的弦長(zhǎng)，           12分

∴， 故為定值．              14分

考點(diǎn)：1.圓錐曲線的定義；2.直線與圓的方程；3.直線與圓的位置關(guān)系.