如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1.

(Ⅰ)證明:PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角的大小.

(Ⅲ)在棱DC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論

答案:
解析:

  (Ⅰ)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,

  所以AB=AD=AC=a,

  在

  知

  同理,

  (Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,

  由

  知

  作

  

  又PE∶ED=2∶1

  所以

  從而

  (Ⅲ)解法一:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

  由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

  

  所以

  

  設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn),

  ,

  其中

  則

  

  令

  

  即

  解得

  即時(shí),

  共面.

  又平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的時(shí),BF∥平面AEC.

  解法二:當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC.證明如下:

  證法一:取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM∥CE.①

  由,知E是MD的中點(diǎn).

  連接BM、BD,設(shè)

  則O為BD的中點(diǎn).

  所以MB∥OE.②

  由①、②知,平面BFM∥平面AEC.

  證法二

  因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1374/0020/2b163dd52aa4ebd8a5558a85c9742cef/C/Image82.gif" width=253 height=41>

  

  

  所以共面.

  又平面AEC,從而BF∥平面AEC.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大小;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大。
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=
2
SA,點(diǎn)P在SD上,且SD=3PD.
(1)證明SA⊥平面ABCD;
(2)設(shè)E是SC的中點(diǎn),求證BE∥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E、F、G分別為CD、PD、PB的中點(diǎn).PA=AD=2.
(1)證明:PC∥平面FAE;
(2)求二面角F-AE-D的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=2,PB=PD=2
2
,點(diǎn)F是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求BF與平面ABCD所成角的大;
(Ⅲ)若點(diǎn)E在棱PD上,當(dāng)
PE
PD
為多少時(shí)二面角E-AC-D的大小為
π
6
?

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