如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1.
(Ⅰ)證明:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角的大小.
(Ⅲ)在棱DC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論
(Ⅰ)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形, 所以AB=AD=AC=a, 在 知 同理, (Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G, 由 知 作
又PE∶ED=2∶1 所以 從而 (Ⅲ)解法一:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn), , 其中 則
令得
即 解得 即時(shí), 共面. 又平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的時(shí),BF∥平面AEC. 解法二:當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC.證明如下: 證法一:取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM∥CE.① 由,知E是MD的中點(diǎn). 連接BM、BD,設(shè) 則O為BD的中點(diǎn). 所以MB∥OE.② 由①、②知,平面BFM∥平面AEC. 證法二 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1374/0020/2b163dd52aa4ebd8a5558a85c9742cef/C/Image82.gif" width=253 height=41>
所以共面. 又平面AEC,從而BF∥平面AEC. |
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