Question

給出下列命題：
①若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1，則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=

6

，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0；
④設(shè)直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：本題需逐個(gè)判斷：選項(xiàng)①的數(shù)列從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列；選項(xiàng)②三角形無解；選項(xiàng)③，通過奇函數(shù)的定義可得結(jié)論；選項(xiàng)④，通過三角換元可知，直線為定圓的切線，畫圖可得M中的直線所能圍成的正三角形面積不一定相等．

解答：解：選項(xiàng)①，當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，顯然n=1時(shí)式子不符合，故數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
選項(xiàng)②，∵a=

6

＜bsinA=2

3

，故滿足條件的三角形無解，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)③，函數(shù)f（x）=x|x-a|+b的定義域?yàn)镽，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是f（-x）+f（x）=0，
即x|x-a|+b-x|x+a|+b=0，故x（|x-a|-|x+a|）+2b=0，只能a，b同時(shí)為0，即a²+b²=0，故正確；
選項(xiàng)④，由直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令 

x=cosθ y=2+sinθ

消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，如圖中等邊三角形ABC和 ADE面積不相等，故不正確．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題為命題真假的判斷，涉及數(shù)列，解三角形，函數(shù)的奇偶性以及三角換元，屬中檔題．