(2008•盧灣區(qū)二模)(文)已知銳角三角形ABC的三邊為連續(xù)整數(shù),且角A、B滿足A=2B.
(1)當(dāng)
π
5
<B<
π
4
時,求△ABC的三邊長及角B(用反三角函數(shù)值表示);
(2)求△ABC的面積S.
分析:(1)根據(jù)三角形三邊長為連續(xù)的正整數(shù),設(shè)中間的邊長為n,表示出前一個和后一個邊長,由A=2B,利用內(nèi)角和定理表示出C,把A=2B代入可用B表示出C,由B的范圍,得到A的范圍,可得到C的范圍,進(jìn)而得到三個角的大小關(guān)系,根據(jù)大角對大邊可得n+1為角A的對邊,n-1為B的對邊,利用正弦定理列出關(guān)系式,把A=2B代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,可表示出cosB,再利用余弦定理表示出cosB,兩者相等列出關(guān)于n的方程,求出方程的解即可得到n的值,進(jìn)而求出cosB的值,由B為銳角,利用反函數(shù)定義即可表示出B;
(2)由(1)求出cosB的值及B為銳角,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值,再由a與c的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積.
解答:解:(1)設(shè)△ABC的三邊為n-1,n,n+1(n≥3,n∈N),
由題設(shè)A=2B得:C=π-A-B=π-3B,
由題意
π
5
<B<
π
4
,得
5
<A<
π
2
,
可得
π
4
<C<
5
,
從而A>C>B,得角B所對的邊為n-1,角A所對的邊為n+1,(4分)
故有
n-1
sinB
=
n+1
sin2B
,
cosB=
n+1
2(n-1)
,又cosB=
n2+(n+1)2-(n-1)2
2n(n+1)
,
n+1
2(n-1)
=
n2+(n+1)2-(n-1)2
2n(n+1)
,
解得n=5,
故△ABC的三邊長為4,5,6,(7分)
cosB=
3
4
,從而B=arccos
3
4
;(10分)
(2)由B=arccos
3
4
,得到cosB=
3
4
,又B為銳角,
sinB=
7
4
,又a=6,c=5,
S=
1
2
acsinB=
15
7
4
.(14分)
點(diǎn)評:此題考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及三角形的面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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arccos
3
3
arccos
3
3
(用反三角函數(shù)值表示).

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(2008•盧灣區(qū)二模)不等式
2-x
x+3
>1
的解集為
{x|-3<x<-
1
2
}
{x|-3<x<-
1
2
}

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(2008•盧灣區(qū)二模)計(jì)算:
lim
n→∞
(1+
2
3n+1
)n
=
e
2
3
e
2
3

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4(4n-1)
3
4(4n-1)
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