Question

16．已知函數(shù)y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$（2≤x≤2^m，m＞1，m∈R）
（1）求x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；
（2）求該函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入計(jì)算，可得x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；
（2）換元，配方求該函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$時(shí)，y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{-5}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$；
（2）y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=（log₂x-3）（$\frac{1}{2}$log₂x-$\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
設(shè)t=log₂x，t∈[1，m]，∴y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-2t+2=$\frac{1}{2}（t-2）^{2}$
1＜m≤2時(shí)，函數(shù)在[1，m]上單調(diào)遞減，y_min=$\frac{1}{2}{m}^{2}$-2m+2；
m＞2時(shí)，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，m]上單調(diào)遞增，t=2時(shí)，y_min=0，
綜上：y_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}-2m+2，1＜m≤2}\\{0，m＞2}\end{array}\right.$…．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最小值，考查函數(shù)值的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．