Question

（2012年高考（湖南理））已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù),記A(n)=a₁+a₂++a_n,B(n)=a₂+a₃++a_n+1,C(n)=a₃+a₄++a_n+2,n=1,2。

(1)  若a₁=1,a₂=5,且對任意n∈N﹡,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{ a_n }的通項公式.

(2)  證明:數(shù)列{ a_n }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.

Answer 1

 【解析】

解(1)對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列,所以

 

即亦即

故數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列.于是

(Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則對任意,有

由知,均大于0,于是

 

 

即==,所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

(2)充分性:若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,

則

,

于是得即

 

由有即,從而.

因為,所以,故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,

綜上所述,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N﹡,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得;第二問要從充分性、必要性兩方面來證明,利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.