Question

設(shè)P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)，A（a，0）（0＜a＜3）為定點(diǎn)，已知|AP|的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析：由P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)，A（a，0）（0＜a＜3）為定點(diǎn)，知|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]及|AP|的最小值為1，能求出a的值．

解答：解：∵P（x，y）為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)，A（a，0）（0＜a＜3）為定點(diǎn)，
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2
=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]，
∵0＜a＜3，∴0＜

9a

5

＜

27

5

，
當(dāng)0＜

9a

5

≤3，即0＜a≤

5

3

時(shí)，
|AP|²_min=4-

4

5

a2=1，解得a=

15

2

（舍）；
當(dāng)

9a

5

＞3，即3＞a＞

5

3

時(shí)，
當(dāng)x=3時(shí)取最小值，
則|AP|²_min=a²-6a+9=1，解得a=2，或a=4（舍）．
綜上，a=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，具體涉及到橢圓的性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．