已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且2(a2+b2-c2)=3ab;
(1)求sin2
A+B2
;         
(2)若c=2,求△ABC面積的最大值.
分析:(1)利用余弦定理表示出cosC,將已知的等式兩邊除以2變形后代入表示出的cosC中,化簡(jiǎn)即可求出cosC的值,然后由三角形的內(nèi)角和定理得到A+B=π-C,把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于cosC的式子,把cosC的值代入即可求出值;
(2)把c=4代入已知的等式,得到一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式,由基本不等式a2+b2≥2ab,求出ab的最大值,然后由cosC的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值,利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,把a(bǔ)b的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面積的最大值.
解答:解:(1)∵a2+b2-c2=
3
2
ab,
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
3
4
,
∵A+B=π-C,
sin2
A+B
2
=
1-cos(A+B)
2
=
1+cosC
2
=
7
8

(2)∵a2+b2-c2=
3
2
ab,且c=2,
∴a2+b2-4=
3
2
ab,
又a2+b2≥2ab,
3
2
ab≥2ab-4,∴ab≤8,
∵cosC=
3
4
,∴sinC=
1-cos2C
=
1-(
3
4
)
2
=
7
4
,
∴S△ABC=
1
2
absinC≤
7
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2
2
時(shí),△ABC面積取最大值,最大值為
7
點(diǎn)評(píng):此題考查了余弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,基本不等式及三角形的面積公式.要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的恒等變換公式,同時(shí)注意靈活變換已知的等式,利用整體代入的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AH為BC邊上的高,以下結(jié)論:①
AH
•(
AC
-
AB
)=0
;
AB
BC
<0⇒△ABC
為鈍角三角形;
AC
AH
|
AH
|
=csinB
;
BC
•(
AC
-
AB
)=a2
,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足b+c=
3
a
,設(shè)
m
=[cos(
π
2
+A),-1],
n
=(cosA-
5
4
,-sinA),
m
n
,試求角B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)證明:
a+b
2a+b
c
a+c
;
(2)證明:不論x取何值總有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0;
(3)若a>c≥2,證明:
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c且角A,B、C成等差數(shù)列,△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
,則實(shí)數(shù)k的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=
2
,向量
m
=(-1,1)
,
n
=(cosBcosC,sinBsinC-
2
2
)
,且
m
n

(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)當(dāng)sinB+cos(
12
-C)
取得最大值時(shí),求角B的大小和△ABC的面積.

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