已知離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為
3
+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
分析：（1）利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)離心率為
3
2
，其上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為
3
+2，可建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓的左特征點(diǎn)，根據(jù)橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，kAM+kBM=0，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意知
a+c=
3
+2
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3
，∴b=
a2-c2
=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2 =1；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓
x2
4
+y2 =1的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)F（-
3
，0），
可設(shè)直線AB的方程為x=ky-
3
（k≠0）
代入
x2
4
+y2 =1，得：（ky-
3
）y2+4y2=4，即（k2+4）y2-2
3
ky-1=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=
2
3
k
k2+4
，y1y2=-
1
k2+4

∵∠AMB被x軸平分，kAM+kBM=0，即
y1
x1-m
+
y2
x2-m
=0，
即y1（ky2-
3
）+y2（ky1-
3
）-（y1+y2）m=0
所以，2ky1y2-（y1+y2）（m+
3
）=0
于是，2k×（-
1
k2+4
）-
2
3
k
k2+4
×（m+
3
）=0
∵k≠0，∴1+
3
（m+
3
）=0，即m=-
4
3
3
，∴M（-
4
3
3
，0）
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的處理，要注意解題中直線AB得方程設(shè)為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•懷化三模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(
3
，
3
2
)，離心率e=
1
2
，若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N(
x0
a
，
y0
b
)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，k）（其中k為一正實(shí)數(shù)）到實(shí)數(shù)集R上的映射過(guò)程：區(qū)間（0，k）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)線段AB上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)離心率為
3
2
的橢圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合于橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)，如圖2；再將這個(gè)橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，已知此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，在圖形變化過(guò)程中，圖1中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長(zhǎng)度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點(diǎn)N（n，-2），則與實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)就是n，記作f（m）=n，

現(xiàn)給出下列5個(gè)命題①f(
k
2
)=6；②函數(shù)f（m）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（m）在（0，k）上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
k
2
，0)對(duì)稱；⑤函數(shù)f(m)=3
3
時(shí)AM過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．其中所有的真命題是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：懷化三模 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(
3
，
3
2
)，離心率e=
1
2
，若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N(
x0
a
，
y0
b
)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．

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