Question

6．求函數(shù)y=$\frac{tanx}{1+ta{n}^{2}x}$的值域．

Answer 1

分析 令t=tanx∈R．f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，當(dāng)t=0時(shí)，f（0）=0；對(duì)于t分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：令t=tanx∈R．
∴f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$，
當(dāng)t=0時(shí)，f（0）=0；
當(dāng)t＞0時(shí)，0＜f（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$$≤\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)．
同理可得：t＜0時(shí)，0＞f（t）≥$-\frac{1}{2}$
綜上可得：f（t）∈$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
∴函數(shù)y=$\frac{tanx}{1+ta{n}^{2}x}$的值域是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、“換元法”、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．