Question

已知數(shù)列{a_n}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a₁，公比為q的等比數(shù)列．
（1）求和：a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明．
（3）設(shè)q≠1，S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求：S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ

Answer 1

解：（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁（1-q）²a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；
（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列，
則a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³++（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，n為正整數(shù)
證明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ；
∴左邊=右邊，該結(jié)論成立．
（3）∵數(shù)列{a_n}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a₁，公比為q的等比數(shù)列，而且q≠1．
∴=，
∴S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ
=[（1-q）c_n⁰-（1-q²）c_n¹+（1-q³）c_n²-（1-q⁴）c_n³+…+（-1）ⁿ（1-qⁿ⁺¹）c_nⁿ]
=
=．
分析：（1）利用組合數(shù)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡，再利用平方差和立方差公式合并．
（2）利用歸納推理和（1）的結(jié)果進(jìn)行推理出結(jié)論，利用二項(xiàng)式定理從左邊到右邊證明．
（3）由題意知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，而且q≠1，求出s_n代入所給的式子，進(jìn)行整理和分組，再利用二項(xiàng)式定理求解．
點(diǎn)評：本題為等比數(shù)列和二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，還用到組合數(shù)公式，計算量大；在化簡式子時根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行分組求解，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行化簡．