Question

如圖，已知雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

2

，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線C的上、下焦點(diǎn)，M為上準(zhǔn)線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，且

MF1

•

MF2

=-1．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線l交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁、P₂，交雙曲線于P、Q，且

P1P

=2

PP2

，求|

PQ

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用

MF1

•

MF2

=-1，結(jié)合離心率，求出a，c，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，求出直線交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁、P₂，結(jié)合

P1P

=2

PP2

，通過P在雙曲線上，通過弦長(zhǎng)公式求|

PQ

|的最小值．

解答：解：（1）設(shè)F₁（0，c），F(xiàn)₂（0，c）則M（

ab

c

，

a2

c

），由

MF1

•

MF2

=-1，
得(

ab

c

)2-(c- 

a2

c

)(c+ 

a2

c

)=a²-c²=-1；
∵e=

c

a

=

2

，
∴a=1，c=

2

，
所以雙曲線C的方程為：y²-x²=1．…（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，交雙曲線C的漸近線l₁、l₂于P₁（-

b

1+k

，

b

1+k

），P₂（

b

1+k

，

b

1+k

）；
由

P1P

=2

PP2

可得P(

3kb+b

3(1-k2)

，

3b+bk

3(1-k2)

)
因?yàn)镻在雙曲線上，所以(

3kb+b

3(1-k2)

)2-(

3b+bk

3(1-k2)

)2=1，
所以8b²=9（1-k²），
聯(lián)立得

y=kx+b y 2-x 2=1

即（k²-1）x²+2kbx+b²-1=0…（10分）
∴|

PQ

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]

=

1+k2

2(1-k2)

≥

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：此題是難題．考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問題，綜合性強(qiáng)，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交弦長(zhǎng)的求法．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．