Question

如圖，已知定點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)Q是圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)M、Q的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x₀，y₀），本題宜用代入法求軌跡方程，由角平分線的性質(zhì)，得到

QM

MA

=

1

2

，定分比公式將Q點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來，再代入圓的方程即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

解答：解：由三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)，得

|QM|

|MA|

=

|OQ|

|OA|

=

1

2

，∴

QM

MA

=

1

2

．
設(shè)則

x= x0+ 1 2 ×2 1+ 1 2 y= y0+ 1 2 ×0 1+ 1 2

∴

x0= 3 2 x-1 y0= 3 2 y

∵Q在圓x²+y²=1上，∴x₀²+y₀²=1，
∴(

3

2

x-1)2+(

3

2

y)2=1
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-

2

3

)2+y2=

4

9

點(diǎn)評：本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，是一個(gè)求軌跡方程的問題求解本題的關(guān)鍵是找到M，Q這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，用代入法求軌跡方程，代入法適合求這樣的點(diǎn)的軌跡方程，如本題一個(gè)點(diǎn)的軌跡方程已知，而要求軌跡方程的點(diǎn)的坐標(biāo)與這個(gè)點(diǎn)有固定的關(guān)系．其步驟：用未知點(diǎn)的坐標(biāo)表示已知點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知的軌跡方程，整理．