Question

已知x，y均為正數(shù)，，且滿足，，則的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由，兩邊同乘以x²+y²得到；把代入上式得，可化為，
利用立方和公式可以把cos⁶θ+sin⁶θ化為1-3sin²θcos²θ，可化為，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立，即可解得sin²θ與cos²θ．再根據(jù)得，即可得出sinθ與cosθ，即可求出答案．
解答：解：∵，∴，化為，（*）
∵，
∴，，代人（*）得，
化為，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴，
化為，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立，解得或．
由得．故取．解得，∴．
故答案為．
點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的恒等變形、單調(diào)性、平方關(guān)系、立方和公式、配方法、方程思想等基礎(chǔ)知識與基本方法，需要較強(qiáng)的推理能力和變形能力、計(jì)算能力．